高代练习题
题目
Problem. 给定数域 $K$ 上的矩阵$A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 11 \end{pmatrix}$，设$C(A)=\{B \in M_4(K)\mid AB = BA\}$，定义线性映射$\varphi:C(A) \to M_4(K)$为$X \mapsto \varphi(X)=AX^T - XA$。求$C(A)$和$\mathrm{Im}(\varphi)$的维数。
$$ A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 11 \end{bmatrix},\quad C(A)=\{ B \in M_4(K) \mid AB=BA \} $$ $\varphi: C(A) \to M_4(K),\ X \mapsto \varphi(X)=AX^T-XA$
$X \in C(A) \implies AX=XA$ $$ \varphi(X)=AX^T-AX = A(X^T-X) $$
$$ \dim(C(A))=\dim(\mathrm{Im}(\varphi))+\dim(\ker(\varphi)) $$
$$ \ker \varphi = \{ X \in C(A) \mid X^T=X \} $$
Step 1: 分块分析
对 $A$ 分块：$A=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$，设$B=\begin{bmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{bmatrix}$，由$AB=BA$： $$ \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} $$ 展开得： $$ \begin{bmatrix} A_1B_1 & A_1B_2 \\ A_2B_3 & A_2B_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_1B_1 & B_2A_2 \\ B_3A_1 & B_4A_2 \end{bmatrix} $$ 等价条件： $$ A_1B_2=B_2A_2,\quad A_2B_3=B_3A_1,\quad A_2B_4=B_4A_2 $$ $$ B_2(A_1-A_2)=0,\quad 0=(A_1-A_2)B_3 $$ $$ A_2=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 11 \end{bmatrix},\quad B_4=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 11 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 11 \end{bmatrix} $$ $$ A_1-A_2=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -3 & -8 \end{bmatrix},\quad B_2\cdot\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -3 & -8 \end{bmatrix}=0,\quad \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -3 & -8 \end{bmatrix}\cdot B_3=0 $$ 矩阵等式展开： $$ 3a+3c=3a+3b \implies c=b $$ $$ 3b+11d=3c+11d \implies 3a+11b=3b+3d $$ $$ 3b+11d=3c+11d \implies c=b $$ 得$\dim(B_4)=4-2=2$，$\dim(B_1)=4$，因此 $$ \dim(C(A))=4+2=6 $$
Step 2: 对称条件
对称条件 $B^T=B$： $\dim(B_1)=3$，由$c=b$知$B_4=B_4^T$，$\dim(B_4)=2$ $$ \dim \ker \varphi=5 $$
Step 3: 维数公式
由维数公式： $$ \dim(\mathrm{Im}(\varphi))=6-5=1 $$
最终结果
$\dim C(A)=6$，$\dim \mathrm{Im}(\varphi)=1$